S I I en CPGE - Opérateur d’inertie

Brèves

Macro word vers TeX (word2TeX)

Le lundi 8 mai
vous pouvez télécharger sur le site papanicola post-it et directement ici : Macro Word vers TeX
Evolution du squelette

Le samedi 25 mars
Le squelette a été totalement ré-écrit en tenant compte des nouvelles spécificités de la la version 1.9 de Spip. J'en profite pour changer le nom du (...)
nouvelle année - nouveau squelette

Le mercredi 4 janvier
Pour cette nouvelle année, un nouveau squelette, je l'espère plus facile à utilser. il est valide Xhtml transitional.

Date : 5 décembre 2004
par Robert Papanicola

Accueil > Cours > Mecanique > Dynamique

2. Opérateur d’inertie

Mots clefs associées

moment d’inertie , Matrice d’inertie , Huygens

L’opérateur d’inertie permet de synthétiser l’ensemble des caractéristiques d’inertie du solide, Cet opérateur est une fonction linéaire et peut être représenté par une matrice.

définition

On appelle opérateur d’inertie ${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right)$ au point O d’un solide S l’opérateur qui à tout vecteur $\vec u$ de l’espace associe le vecteur
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm$
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = - \int_S {\left( {\overrightarrow {OP} \wedge \left( {\overrightarrow {OP} \wedge \vec u} \right)} \right)} dm$

Matrice d’inertie

Soit un repère R $\left( {O,\vec x,\vec y,\vec z} \right)$ , un point P de coordonnées x, y, z dans R, B la base $\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)$
$\overrightarrow {OP} = x \cdot \vec x + y \cdot \vec y + z \cdot \vec z$
$\vec u = \alpha \cdot \vec x + \beta \cdot \vec y + \gamma \cdot \vec z$
déterminons le double produit vectoriel.
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm$
$\begin{array}{c} \overrightarrow {OP} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right) = \left( {\alpha \cdot \left( {y^2 + z^2 } \right) - \beta \cdot x \cdot y - \gamma \cdot x \cdot z} \right) \cdot \vec x \\ + \left( { - \alpha \cdot x \cdot y + \beta \left( {x^2 + z^2 } \right) - \gamma \cdot y \cdot z} \right) \cdot \vec y \\ + \left( { - \alpha \cdot x \cdot z - \beta \cdot y \cdot z + \gamma \left( {x^2 + y^2 } \right)} \right) \cdot \vec z \\ \end{array}$
en effectuant l’intégration on obtient :
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm$

$\begin{array}{c} {\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \left( {\alpha \cdot \int_S {\left( {y^2 + z^2 } \right)dm} - \beta \int_S { \cdot x \cdot ydm} - \gamma \int_S {x \cdot zdm} } \right) \cdot \vec x \\ \left( { - \alpha \cdot \int_S {x \cdot y} dm + \beta \int_S {\left( {x^2 + z^2 } \right)dm} - \gamma \int_S {y \cdot zdm} } \right) \cdot \vec y \\ \left( { - \alpha \cdot \int_S {x \cdot zdm} - \beta \int_S {y \cdot zdm} + \gamma \int_S {\left( {x^2 + y^2 } \right)dm} } \right) \cdot \vec z \\ \end{array}$
On a bien le produit d’une matrice par un vecteur $\vec u = \alpha \cdot \vec x + \beta \cdot \vec y + \gamma \cdot \vec z$
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\int_S {\left( {y^2 + z^2 } \right)dm} } & { - \int_S { \cdot x \cdot ydm} } & { - \int_S {x \cdot zdm} } \\ { - \int_S {x \cdot y} dm} & {\int_S {\left( {x^2 + z^2 } \right)dm} } & { - \int_S {y \cdot zdm} } \\ { - \int_S {x \cdot zdm} } & { - \int_S {y \cdot zdm} } & {\int_S {\left( {x^2 + y^2 } \right)dm} } \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)} \left( {\begin{array}{*{20}c} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\\end{array}} \right)$
On pose par convention
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & { - F} & { - E} \\ { - F} & B & { - D} \\ { - E} & { - D} & C \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$ ou bien ${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {I_{Ox} } & { - P_{xy} } & { - P_{xz} } \\ { - P_{xy} } & {I_{Oy} } & { - P_{yz} } \\ { - P_{xz} } & { - P_{yz} } & {I_{Oz} } \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$
A= $I_{O\vec x} \left( S \right) = \int_S {\left( {y^2 + z^2 } \right)dm}$ : moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ( $O\vec x$ ).
B= $I_{O\vec y} \left( S \right) = \int_S {\left( {x^2 + z^2 } \right)dm}$ : moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ( $O\vec y$ ).
C= $I_{O\vec z} \left( S \right) = \int_S {\left( {x^2 + y^2 } \right)dm}$ :moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ( $O\vec z$ ).
D= produit d’inertie du solide S par rapport aux axes ( $O\vec y$ ) et ( $O\vec z$ ).
E= produit d’inertie du solide S par rapport aux axes ( $O\vec x$ ) et ( $O\vec z$ ).
F= produit d’inertie du solide S par rapport aux axes ( $O\vec x$ ) et ( $O\vec y$ ).

Expression du moment d’inertie par rapport à un axe quelconque

Par définition le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe * $\left( {O,\vec \delta } \right)$ passant par O est :
$I_\Delta \left( S \right) = \int_S {\left( {\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right)^2 dm}$
$I_\Delta \left( S \right) = \int_S {\left( {\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right) \cdot \left( {\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right)dm}$
le terme sous l’intégrale peut être considéré comme le produit mixte des vecteurs $\vec \delta$ , $\overrightarrow {OM}$ et $\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM}$ :
$I_\Delta \left( S \right) = \int_S {\left( {\vec \delta ,\overrightarrow {OM} ,\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right)dm}$
en permutant les termes du produit mixte on obtient : $I_\Delta \left( S \right) = \int_S {\left( {\overrightarrow {OM} ,\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} ,\vec \delta } \right)dm}$ , c’est à dire’
$I_\Delta \left( S \right) = \int_S {\left( {\overrightarrow {OM} \wedge \left( {\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right) \cdot \vec \delta } \right)dm}$ puis
$I_\Delta \left( S \right) = \vec \delta \cdot \int_S {\left( {\overrightarrow {OM} \wedge \left( {\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right)} \right)dm}$
on reconnaît l’opérateur d’inertie au point O du solide S.
On obtient donc le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe * $\left( {O,\vec \delta } \right)$ en effectuant le produit scalaire de $\vec \delta$ et de la transformation de $\vec \delta$ par l’opérateur d’inertie du solide en O
$I_\Delta \left( S \right) = \vec \delta \cdot {\rm{\bar \bar J}}_O (S) \cdot \vec \delta$
Propriétés et directions principales de la matrice d’inertie.
La matrice d’inertie permet de synthétiser les caractéristiques d’inerties d’un solide S, on retrouve dans cette matrice les particularités géométriques du solide, c’est à dire les symétries (symétrie/plan, /2 plans, de révolution).

Solide avec un plan de symétrie

Lorsque le solide possède un plan de symétrie, les produits d’inertie comportant la normale au plan de symétrie sont nuls.
Démonstration : le solide S possède un plan de symétrie, ici $(O,\vec x,\vec y)$ , l’axe $\vec z$ est normal à ce plan

D= $\int_S {yzdm}$ produit d’inertie du solide S par rapport aux axes ( $O\vec y$ ) et ( $O\vec z$ ).
E= $\int_S {xzdm}$ produit d’inertie du solide S par rapport aux axes ( $O\vec x$ ) et ( $O\vec z$ ).
$D = \int_S {yzdm} = \int_{S1} {yzdm} + \int_{S2} {yzdm}$
le solide ayant le plan $(O,\vec x,\vec y)$ comme plan de symétrie, on a :
$\int_{S2} {yzdm} = \int_{S1} {y\left( { - z} \right)dm} = - \int_{S1} {yzdm}$
D=0, de même E=0
d’où la matrice d’inertie du solide S :
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & { - F} & 0 \\ { - F} & B & 0 \\ 0 & 0 & C \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$
Solide avec 2 plans de symétrie.
si deux plans parmi les trois $(O,\vec x,\vec y)$ , $(O,\vec x,\vec z)$ , $(O,\vec y,\vec z)$ sont des plans de symétrie matérielle, alors les trois produits d’inerties sont nuls
La matrice d’inertie est donc diagonale :
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & C \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$

Symétrie de révolution
Si l’axe $(O,\vec z)$ est un axe de révolution matérielle, alors les moments d’inertie suivant $(O,\vec x)$ et $(O,\vec y)$ sont égaux.
La matrice d’inertie est donc : ${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & 0 & 0 \\ 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & C \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$
Nota
La matrice d’inertie d’un solide possédant des symétries comporte des produits d’inerties nuls si cette matrice est écrite dans une base caractéristique de cette symétrie
Axes principaux d’inertie, base principale d’inertie.
La matrice d’inertie étant une matrice réelle et symétrique, il existe pour tout point A une base orthogonale de vecteurs propres B’ $\left( {\vec x',\vec y',\vec z'} \right)$ , dans cette base la matrice d’inertie du solide S au point A est une matrice diagonale. ${\rm{\bar \bar J}}_A \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {A'} & 0 & 0 \\ 0 & {B'} & 0 \\ 0 & 0 & {C'} \\\end{array}} \right)_{{\rm{B'}}\left( {\vec x',\vec y',\vec z'} \right)}$ .
Cette base est appelée base principale d’inertie au point A.
Les axes $(A,\vec x')$ , $(A,\vec y')$ et $(A,\vec z')$ principaux d’inertie.
A’,B’ et C’ sont les moments principaux d’inertie.
Si au lieu de prendre un point A quelconque, on prend le centre d’inertie G, la base B’, est la base centrale d’inertie et les moments A’, B’ et C’ sont les moments centraux d’inertie.

Remarque :
Les axes caractéristiques d’un solide (symétries) sont des axes principaux d’inertie.

Changement de point, théorème de Huygens généralisé
Soit B la base $\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)$
On recherche la relation entre la matrice d’inertie en O du solide S et la matrice d’inertie en G (centre d’inertie du solide S).
Par définition l’opérateur d’inertie (matrice d’inertie) du solide au point O dans la base B : ${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OM} } \right)} \right)} dm$
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\left( {\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GM} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \left( {\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} \right)} dm$

$\begin{array}{c} {\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm + \int_S {\left( {\left( {\overrightarrow {OG} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm \\ + \int_S {\left( {\overrightarrow {GM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm + \int_S {\left( {\overrightarrow {GM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm \\ \end{array}$
or les deuxième et troisième termes sont nuls
$\begin{array}{c} \int_S {\left( {\left( {\overrightarrow {OG} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm = \overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \int_S {\overrightarrow {GM} dm} } \right) = \vec 0 \\ \int_S {\left( {\overrightarrow {GM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm = \left( {\int_S {\overrightarrow {GM} dm} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right) = \vec 0 \\ \end{array}$
donc : ${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm + \int_S {\left( {\overrightarrow {GM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm$
or par définition de l’opérateur d’inertie du solide S en G : $\int_S {\left( {\overrightarrow {GM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm = {\rm{\bar \bar J}}_G \left( S \right) \cdot \vec u$
la deuxième intégrale donne m : $\int_S {\left( {\overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm = m\overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)$
d’ou le théorème de Huygens généralisé
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = {\rm{\bar \bar J}}_G \left( S \right) \cdot \vec u + m\overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)$
En posant $\overrightarrow {OG} = a \cdot \vec x + b \cdot \vec y + c \cdot \vec z$
Les matrices d’inertie en G et O s’écrivent :
$\left( {\begin{array}{*{20}c} {A_O } & { - F_O } & { - E_O } \\ { - F_O } & {B_O } & { - D_O } \\ { - E_O } & { - D_O } & {C_O } \\\end{array}} \right)_{\rm{B}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {A_G } & { - F_G } & { - E_G } \\ { - F_G } & {B_G } & { - D_G } \\ { - E_G } & { - D_G } & {C_G } \\\end{array}} \right)_{\rm{B}} + \left( {\begin{array}{*{20}c} {m\left( {b^2 + c^2 } \right)} & { - mab} & { - mac} \\ { - mab} & {m\left( {a^2 + c^2 } \right)} & { - mbc} \\ { - mac} & { - mbc} & {m\left( {a^2 + b^2 } \right)} \\\end{array}} \right)_{\rm{B}}$
donc : $\begin{array}{l} A_O = A_G + m\left( {b^2 + c^2 } \right) \\ B_O = B_G + m\left( {a^2 + c^2 } \right) \\ C_O = C_G + m\left( {a^2 + b^2 } \right) \\ \end{array}$ $\begin{array}{l} D_O = D_G + mbc \\ E_O = E_G + mac \\ F_O = F_G + mab \\ \end{array}$

Réactions à l'article :
Cliquez ici pour réagir à cet article

Opérateur d’inertie
18 novembre 2007, par laye

merci bcp cété vraiment interressant
Site : thanks

Répondre à ce message

Opérateur d’inertie
26 février 2006, par ElèveDePrepaPT_àMontpellier

Bonjour , félicitation pour vos explications claires et concises, ainsi que chaque étape des raisonnements justifiés, cela permet de s’approprier ces notions rapidement, merci
Répondre à ce message
- Opérateur d’inertie
  26 février 2006, par Papanicola Robert
  
  merci
  Répondre à ce message

> Opérateur d’inertie
16 mars 2005

Euh, ya une menu à la con sur la gauche qui masque le début de chaque page, et pas moyen de le virer !!!

Monsieur l’adminsitrateur, il serait peut-être bien d’y remédier, non ?

Enfin, je dis ça, c’est pour vous ... pour faire avacncer le schimili .. le chelimili ... le schmilibli .. bref, le schmilblick ,quoi !

Répondre à ce message
- > > Opérateur d’inertie
  16 mars 2005, par Papanicola Robert
  
  je pourrais, j’y songe mais le véritable problème, c’est que tu utiiises Internet Explorer (version 6) c’est à dire un navigateur internet qui a plus de 4 ans, je te propose plutot de télécharger firefox bien plus respectueux des standarts du web
  
  sinon, tu as toujours la possibilité de cliquer sur imprimer la page (en haut à droite) pour avoir un aperçu sans les menus
  
  A+
  
  Répondre à ce message
  - > > > Opérateur d’inertie
    16 mars 2005
    
    Ach, je comprends bien. Cela dit, j’utilise l’ordinateur à ma disposition, sur lequel je n’ai pas les droits administrateurs ...
    
    Tant pis pour moi, et merci
    
    Répondre à ce message

Tous les articles de la rubrique

Cette rubrique comporte 5 articles

1. Cinétique masse et inertie
Le mardi 30 novembre
popularité : 3

4. Dynamique du solide
Le mardi 18 janvier
popularité : 12
3. Matrice d’inertie des solides élémentaires
Le dimanche 5 décembre
popularité : 22

5. Puissance
Le mardi 18 janvier
popularité : 2
6. Equilibrage
Le mardi 18 janvier
popularité : 10

Sciences Industrielles pour l’Ingénieur en CPGE

Navigation

Brèves

Macro word vers TeX (word2TeX)

Evolution du squelette

nouvelle année - nouveau squelette

2. Opérateur d’inertie

Mots clefs associées

Tous les articles de la rubrique

Articles avec les mêmes mots clefs

moment d’inertie

Matrice d’inertie